——比重与浮力的发现
上回说到阿基米德和埃拉托色尼谈论天体结构的时候，突然听到有人大喊“还要不要脑袋”，两人大吃一惊，忙回头仔细一看，原来是他们的好友亚历山大里亚博物院的天文学家亚利斯塔克，这才松了一口气。阿基米德正要回敬他几句，亚利斯塔克暗示他不要嚷嚷。他一抬头才发现不远处还有两个人在散步，其中一人叫克利安西。阿基米德耸了一下肩膀，三人立即悄悄地返身离开海滩往回走去。
原来，在这个世界学术中心，堂堂的亚历山大里亚博物院里，派系斗争也很激烈。刚才那个克利安西是斯多噶唯心哲学派的领袖。如果要让克利安西知道他们三人讨论地球在绕太阳转之类的问题，是够危险的。要知道，直到阿基米德死后一千多年，布鲁诺和伽利略就是因为坚持这个学说，一个被烧死，一个被判了三百年徒刑。难怪亚利斯塔克问他们还要不要脑袋。
再说阿基米德在亚历山大里亚学习了一段时间后，顿生思乡之情，便回到了自己的祖国——西西里岛的叙拉古。叙拉古国王艾希罗和阿基米德是亲戚，见他在外留学多年，也不问学识深浅，一见面就给他出了个难题。原来一年一度的盛大祭神节就要来临了，国王艾希罗交给金匠一块纯金，命令他制作一顶非常精巧、华丽的王冠。王冠制成后，国王拿在手里掂了掂，觉得有点轻。他叫来金匠问是否掺了假。金匠以脑袋担保，并当面拿秤来称，与原来金块的重量一两不差。可是，掺上别的东西也是可以凑足重量的。国王既不能肯定有假，又不相信金匠的誓言，于是把阿基米德找来，要他解此难题。
一连几天，阿基米德闭门谢客，反复琢磨，因为实心的金块与镂空的王冠外形不同，不砸碎王冠铸成金块，便无法求算其体积，也就无法验证是否掺了假。他绞尽脑汁也百思不得其解。