第一节 数学学科知识类型与学习方式
一、数学知识的分类
现代认知派心理学家将知识分为陈述性知识与程序性知识两大类。所谓陈述性知识，是指关于“是什么”的知识，它的基本形式是命题，许多命题相互联系形成的命题集合成为命题网络。所谓程序性知识，是指完成某项任务的一系列操作程序，我国学者莫雷认为该分类的出发点为不同形式的知识在人的大脑中的形成、表征、储存、激活的性质和特点，以及知识形式的心理特征，而忽视了知识内容的心理特征。为此，他提出对知识分类的“陈述—程序”与“联结—运算”两维分类模式，并将知识分为以下类型（见表12-1）。
表12-1 知识二维分类模式[1]
根据数学知识内容的特征，有学者将数学知识的分为陈述性知识与程序性知识，而程序性知识又包括智慧技能与认知策略[2]。从教学内容角度，我们将数学知识的形态进行如下分类：
（一）数学概念
数学概念可分为日常概念与科学概念。日常概念也称自发概念，即日常生活中通过辨别学习、积累经验而成的概念，它一般产生于日常生活与无意识活动。科学概念则是指定义明确、有一定逻辑意义和体系的概念。日常概念与科学概念在教学中常常是相辅相成的，有些科学概念可以而且也必须借助于日常概念来学习，比如，集合中的直线、平面等概念。数学概念按其反映事物属性的类别可分为：反映数学基本元素的概念，如自然数、三角形等；反映数学对象间关系的概念，如全等、平行、包含等，它们是对两个或两个以上数学对象之间联系或关系的表达；反映对象特性的概念，如周期性、单调性等，它们表征着数学元素所具有的某种性质。
（二）数学命题
数学命题是指表示概念具有某性质或概念之间具有某种关系的判断。在数学课程中，数学命题分为公理与定理。公理是根据实践的结果或逻辑体系的需要而不需证明就确认其正确性的原始命题。比如，欧氏几何中的平行公理。定理是在原始命题基础上经过逻辑推理得到确认的真实性命题。普通高中数学课程选择其中的一些反映数学基本事实且具有一定认识功能、逻辑功能、使用功能的命题，构成教材中的公式或定理。如立体几何中的直线与平面平行的判定定理、性质定理，解三角形中的正弦定理、余弦定理，数列中的等差数列通项公式、求和公式，三角函数中的诱导公式、两角和与差的正余弦公式等。